मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (y^{2}-x) fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} + x = y

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$2-e$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} + x = y^{2}$.यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y)=1$ और $Q(y)=y^{2}$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^{y}$ है।सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।$x e^{y} = \int y^{2} e^{y} dy + C$.$\int y^{2} e^{y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y^{2} e^{y} dy = y^{2} e^{y} - \int 2y e^{y} dy = y^{2} e^{y} - 2(y e^{y} - e^{y}) = (y^{2}-2y+2)e^{y}$.अतः,$x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} + C$.शर्त $y(0)=1$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर:$0 \cdot e^{1} = (1^{2}-2(1)+2)e^{1} + C \Rightarrow 0 = (1)e + C \Rightarrow C = -e$.वक्र का समीकरण $x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} - e$ है।$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y=0$ रखने पर:$x e^{0} = (0^{2}-2(0)+2)e^{0} - e \Rightarrow x(1) = 2(1) - e \Rightarrow x = 2-e$.

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