ધારો કે a_{n} એ ધન પદોની G.P. નું n^{text{th} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $a_n$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G$.$P$. છે. $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$ આ $100$ પદોની $G$.$P$.

Vedclass · Accepted Answer

$150$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $a_n$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધરાવતી $G$.$P$. છે. $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$ આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_3 = ar^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે. તેથી,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$ $\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$ આ $100$ પદોની $G$.$P$. છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_2 = ar$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r^2$ છે. તેથી,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$ આપણે $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ શોધવાનું છે. નોંધો કે $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$ કારણ કે $a_{k+1} = r a_k$,તેથી $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$ $r = 2$ મૂકતા: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

ધારો કે $a_{n}$ એ ધન પદોની $G$.$P$. નું $n^{\text{th}}$ પદ છે. જો $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = 200$ અને $\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = 100$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{200} a_{n}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

એક $G.P.$ નો સરવાળો જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ છે તે $364$ છે,અને છેલ્લું પદ $243$ છે. તો પદોની સંખ્યા $n$ શોધો.

ભૂમિતિ શ્રેણી (Geometric Progression): $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$ માં $n$ પદો સુધીનો સરવાળો શોધો (જ્યાં $x \neq \pm 1$).

$3$ અને $81$ ની વચ્ચે એવી બે સંખ્યાઓ મૂકો કે જેથી બનતી શ્રેણી $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) હોય.

$1$ અને $64$ વચ્ચેના બે ગુણોત્તર મધ્યક ........ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module