मान लीजिए कि a_{n} धनात्मक पदों की एक G.P. का | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $a_n$ एक $G$.$P$. है जिसका सार्व अनुपात $r$ है। $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$ यह $100$ पदों की एक

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$150$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $a_n$ एक $G$.$P$. है जिसका सार्व अनुपात $r$ है। $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$ यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_3 = ar^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है। अतः,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$ $\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$ यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_2 = ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है। अतः,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$ दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$ हमें $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ ज्ञात करना है। ध्यान दें कि $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$ चूंकि $a_{k+1} = r a_k$,इसलिए $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$ $r = 2$ रखने पर: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

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