मान लीजिए कि f: R rightarrow R को f(x)=3x के | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।चरण $1$: एकैकी (injective) के लिए जाँच करें।मान लीजिए $x_1, x_2 \in R

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$f$ एकैकी आच्छादक है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है।चरण $1$: एकैकी (injective) के लिए जाँच करें।मान लीजिए $x_1, x_2 \in R$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$।$3x_1 = 3x_2$$x_1 = x_2$चूँकि $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$,इसलिए फलन $f$ एकैकी है।चरण $2$: आच्छादक (surjective) के लिए जाँच करें।मान लीजिए $y \in R$ सह-प्रांत का कोई अवयव है।हमें $x \in R$ ढूँढना है ताकि $f(x) = y$ हो।$3x = y \implies x = \frac{y}{3}$।चूँकि $y \in R$,$\frac{y}{3}$ भी एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x \in R$ है।प्रत्येक $y \in R$ के लिए,एक $x = \frac{y}{3} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x) = 3(\frac{y}{3}) = y$ हो।अतः,फलन $f$ आच्छादक है।निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।सही उत्तर $D$ है।

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=3x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सही उत्तर चुनें।

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फलन $f: (-\infty, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty)$ जो $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है,वह है :

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दर्शाइए कि एक एकैकी फलन $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\}$ अनिवार्य रूप से आच्छादक (onto) होगा।

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