ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $^*$ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે?

ધારો કે $*$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા છે,જ્યાં $a * b = \frac{a+b}{4}$ તમામ $a, b \in R$ માટે. તો આ ક્રિયા $*$ કેવી છે?

દ્વિ-ક્રિયાઓ $^*: R \times R \rightarrow R$ અને $o: R \times R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી,અને $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$. [જો આમ હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રિયા $o$ પર વિભાજિત થાય છે]. શું $o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થાય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a + ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ-ક્રિયા $*$ માટે નીચે મુજબનું ગુણાકાર કોષ્ટક આપેલ છે. $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ અને $2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ ની ગણતરી કરો.
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)

ધારો કે $*^{\prime}$ એ ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પરની દ્રીકક્રિયા છે જે $a *^{\prime} b = a$ અને $b$ નો ગુ.સા.અ. ($H$.$C$.$F$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું ક્રિયા $*^{\prime}$ એ ઉપરના સ્વાધ્યાય $4$ માં વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા $*$ જેવી જ છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.