मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो सभी | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x)=cx$ है।चूंकि $f(1)=2$,हमें $c(1)=2

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$5$

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x)+f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x)=cx$ है।चूंकि $f(1)=2$,हमें $c(1)=2$ प्राप्त होता है,इसलिए $c=2$ है। अतः,$f(x)=2x$ है।अब,हम $g(n) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} 2k$ की गणना करते हैं।योग सूत्र $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $g(n) = 2 	imes \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ प्राप्त होता है।हमें $g(n)=20$ दिया गया है,इसलिए $n(n-1)=20$ है।$n^2 - n - 20 = 0$.$(n-5)(n+4) = 0$.चूंकि $n \in N$,इसलिए $n=5$ होगा।

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$f: R \rightarrow R$ एक फलन इस प्रकार है कि $f(0)=1$ और सभी $x, y \in R$ के लिए $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$ है। तो $x=e$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो वास्तविक मान वाले फलन इस प्रकार हैं कि $f(g(x+y)) = f(g(x)) + f(g(y))$,$g(1) = 2$ और $f(2) = 1$,तो फलन $g(f(x))$ किस समुच्चय पर असंतत है?

यदि $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है और यदि $f^{\prime}(4)=24$ और $f^{\prime}(0)=3$ है,तो $f(4)=$

यदि $f(x + y) = f(x)f(y)$ और $\sum_{x=1}^{\infty} f(x) = 2$ है,जहाँ $x, y \in N$ और $N$ सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,तो $\frac{f(4)}{f(2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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