मान लीजिए frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2 | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ दी गई है,जिससे $b

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$126$

Vedclass · Answer

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ दी गई है,जिससे $b^{2} = 5a$ प्राप्त होता है ... $(i)$.अब,फलन $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ पर विचार करें।अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\phi(t) = -\left(t^{2} - t + \frac{1}{4}ight) + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}ight)^{2} + \frac{8}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}ight)^{2} + \frac{2}{3}$.अधिकतम मान $\phi(t)_{	ext{max}} = \frac{2}{3}$ है,अतः $e = \frac{2}{3}$.हम जानते हैं कि $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$,अतः $b^{2} = \frac{5}{9}a^{2}$ ... $(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$5a = \frac{5}{9}a^{2} \Rightarrow a = \frac{a^{2}}{9} \Rightarrow a = 9$.अतः $a^{2} = 81$ और $b^{2} = 5(9) = 45$.इस प्रकार,$a^{2} + b^{2} = 81 + 45 = 126$.

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रेखा $x = at^2$ किस मान के लिए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?

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