दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ की स्पर्श रेखा,जिसका ढाल $-\frac{3}{4}$ है,निर्देशांक अक्षों को $A$ और $B$ पर मिलती है। $\Delta AOB$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूलबिंदु है।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के नाभिलंब के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल .............. $sq. \text{ units}$ है।

यदि $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$ की नाभियाँ हैं और धनात्मक $Y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है,तो त्रिभुज $SBS^{\prime}$ का अंतःकेंद्र ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ से रेखा $\frac{x}{a}\cos \theta + \frac{y}{b}\sin \theta = 1$ पर खींचे गए लंबों का गुणनफल है:

माना एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि $E$ की नाभि $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ पर केंद्रित और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त,$E$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो $PQ^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b)$ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभिलंब की लंबाई $10$ है। यदि इसकी उत्केंद्रता $e$,फलन $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ का अधिकतम मान है,तो $a^{2} + b^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।