मान लीजिए tan alpha, tan beta और tan gamma (ज | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A, B, C$ के निर्देशांक $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ और $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ हैं।परिकेंद्र मूलबि

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$144$

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(A) मान लीजिए $A, B, C$ के निर्देशांक $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ और $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ हैं।परिकेंद्र मूलबिंदु पर होने के कारण,$A, B, C$ की मूलबिंदु से दूरी $R$ है।$\Delta ABC$ का लंबकेंद्र $H$ $(R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma), R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma))$ है।चूंकि लंबकेंद्र $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक शून्य होगा:$R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) = 0 \implies \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.सर्वसमिका $\cos^3 	heta = \frac{1}{4}(\cos 3	heta + 3\cos 	heta)$ का उपयोग करने पर,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 4(\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma) - 3(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)$.यदि $a+b+c=0$ है,तो $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ होता है।अतः,$\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma = 3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.इस मान को रखने पर:$\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = \frac{4(3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 0}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 12$.अतः,अभीष्ट मान $12^2 = 144$ है।

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