माना m, n in mathbb{N} और operatorname{gcd}(2 | vedclass

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Question

(A) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ है।गुणधर्म $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \b

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$45$

Vedclass · Answer

(A) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ है।गुणधर्म $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.माना $r = 30-k$ है। जैसे-जैसे $k$,$0$ से $29$ तक जाता है,$r$,$30$ से $1$ तक जाता है।$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.सर्वसमिका $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ का उपयोग करने पर:$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.दिया गया है कि $S = n \cdot 2^m$ जहाँ $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$ है,अतः $n = 15$ और $m = 30$ है।इसलिए,$n + m = 15 + 30 = 45$।

माना $m, n \in \mathbb{N}$ और $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ है। यदि $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

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