ધારો કે m, n in mathbb{N} અને operatorname{gc | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom

Vedclass · Accepted Answer

$45$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{k}$ છે.ગુણધર્મ $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = \sum_{k=0}^{29} (30-k) \binom{30}{30-k}$.ધારો કે $r = 30-k$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $29$ સુધી જાય,ત્યારે $r$ એ $30$ થી $1$ સુધી જાય છે.$S = \sum_{r=1}^{30} r \binom{30}{r}$.નિત્યસમ $\sum_{r=1}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \cdot 2^{30-1} = 30 \cdot 2^{29}$.$S = 15 \cdot 2 \cdot 2^{29} = 15 \cdot 2^{30}$.આપેલ છે કે $S = n \cdot 2^m$ જ્યાં $\operatorname{gcd}(2, n) = 1$,તેથી $n = 15$ અને $m = 30$.તેથી,$n + m = 15 + 30 = 45$.

ધારો કે $m, n \in \mathbb{N}$ અને $\operatorname{gcd}(2, n)=1$. જો $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ હોય,તો $n + m$ ની કિંમત શોધો. (અહીં $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

Similar Questions

$\frac{C_0}{1} + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + .... + \frac{C_n}{n + 1} = $

$\frac{C_1}{C_0} + 2 \cdot \frac{C_2}{C_1} + 3 \cdot \frac{C_3}{C_2} + \dots + n \cdot \frac{C_n}{C_{n-1}}$ નું મૂલ્ય શું થાય?

જો $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ હોય,તો $C_0 + 2 C_1 + 3 C_2 + \ldots + (n+1) C_n$ ની કિંમત શોધો.

$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

શ્રેણી $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \binom{20}{3} + \dots + \binom{20}{10}$ નો સરવાળો શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module