मान लीजिए A = {1, 2, 3, ldots, 10} और f: A ri | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & 	ext{यदि } k 	ext{ विषम है} \ k, & 	ext{यदि } k 	ext{ सम है} \end{cases}$।हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$

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$10^{5}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(k) = \begin{cases} k+1, & 	ext{यदि } k 	ext{ विषम है} \ k, & 	ext{यदि } k 	ext{ सम है} \end{cases}$।हमें शर्त $g(f(k)) = f(k)$ सभी $k \in A$ के लिए दी गई है।यदि $k$ सम है,तो $f(k) = k$। अतः,$g(f(k)) = g(k) = f(k) = k$। इसलिए,सभी सम $k \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ के लिए $g(k) = k$ होगा।यदि $k$ विषम है,तो $f(k) = k+1$। अतः,$g(f(k)) = g(k+1) = f(k) = k+1$। चूंकि $k+1$ हमेशा एक सम संख्या है,यह पुष्टि करता है कि $g$ सम संख्याओं को स्वयं से ही प्रतिचित्रित करता है,जिसे हमने पहले ही स्थापित कर लिया है।विषम $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ के लिए,शर्त $g(f(k)) = f(k)$ का $g(k)$ के मान पर कोई प्रतिबंध नहीं है।चूंकि $g: A ightarrow A$,प्रत्येक $5$ विषम मानों के लिए,$g(k)$ समुच्चय $A$ के $10$ तत्वों में से कोई भी हो सकता है।इसलिए,ऐसे फलनों $g$ की कुल संख्या $10 	imes 10 	imes 10 	imes 10 	imes 10 = 10^{5}$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $G \times G$ से $G$ तक के गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$I$. $24$
$B$. $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$II$. $0$
$C$. $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या	$III$. $1728$
$D$. $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक (surjective) फलनों की संख्या	$IV$. $12$
	$V$. $19683$

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