मान लीजिए z एक सम्मिश्र संख्या है जो |z+5| le | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $|z+5| \leq 4$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (केंद्र $(-5, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला वृत्त)।दिया गया है $z(1+i)+

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$48$

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(B) दिया गया है $|z+5| \leq 4$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (केंद्र $(-5, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला वृत्त)।दिया गया है $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर:$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.हमें $|z+1|^2$ को अधिकतम करना है,जो बिंदु $P(-1, 0)$ से $z$ की दूरी का वर्ग है।क्षेत्र वृत्त $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ और अर्ध-तल $x-y+5 \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है।$P(-1, 0)$ से क्षेत्र के बिंदुओं की अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम सीमा बिंदुओं की जाँच करते हैं। अधिकतम मान रेखा $x-y+5=0$ और वृत्त $(x+5)^2 + y^2 = 16$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्राप्त होता है।वृत्त के समीकरण में $y = x+5$ रखने पर:$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.अतः $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$।यदि $x = -5 - 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = -2\sqrt{2}$। बिंदु $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$।यदि $x = -5 + 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = 2\sqrt{2}$। बिंदु $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$।$P(-1, 0)$ से दूरी के वर्ग की गणना:$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.अधिकतम मान $32 + 16\sqrt{2}$ है।अतः $\alpha = 32$ और $\beta = 16$।$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

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