ધારો કે z એ એક સંકર સંખ્યા છે જે |z+5| leq 4 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $|z+5| \leq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (કેન્દ્ર $(-5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ).આપેલ છે $z(1+i)+\bar{z}(1

Vedclass · Accepted Answer

$48$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $|z+5| \leq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (કેન્દ્ર $(-5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ).આપેલ છે $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$. $z=x+iy$ અને $\bar{z}=x-iy$ મૂકતા:$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.આપણે $|z+1|^2$ ને મહત્તમ બનાવવું છે,જે બિંદુ $P(-1, 0)$ થી $z$ ના અંતરનો વર્ગ છે.પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ અને અર્ધ-સમતલ $x-y+5 \geq 0$ નો છેદ છે.$P(-1, 0)$ થી પ્રદેશના બિંદુઓનું મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે સીમાબિંદુઓ તપાસીએ છીએ. મહત્તમ કિંમત રેખા $x-y+5=0$ અને વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 = 16$ ના છેદબિંદુ પર મળે છે.વર્તુળના સમીકરણમાં $y = x+5$ મૂકતા:$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.તેથી $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$.જો $x = -5 - 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = -2\sqrt{2}$. બિંદુ $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.જો $x = -5 + 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = 2\sqrt{2}$. બિંદુ $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.$P(-1, 0)$ થી અંતરના વર્ગની ગણતરી:$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.મહત્તમ કિંમત $32 + 16\sqrt{2}$ છે.આમ $\alpha = 32$ અને $\beta = 16$.$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

Similar Questions

$|2z - 1| + |3z - 2|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

ધારો કે $A = \{z \in \mathbb{C} : |z - 2 - i| = 3\}$, $B = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z - iz) = 2\}$ અને $S = A \cap B$ છે. તો $\sum_{z \in S} |z|^2$ ની કિંમત . . . . . . . થાય.

જેના શિરોબિંદુઓ $z, \omega z, z + \omega z$ હોય તેવા $\Delta$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો (જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module