मान लीजिए f अंतराल [0,1] में एक अ-ऋणात्मक फलन | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।दोनों पक्षों का

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$\frac{1}{2}$ के बराबर है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=f(x)$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=f^{2}(x)$$\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} = 1 - f^{2}(x)$$f^{\prime}(x) = \sqrt{1 - f^{2}(x)}$चरों को अलग करने पर:$\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}=1$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\sin^{-1}(f(x)) = x + C$चूंकि $f(0)=0$ है,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = \sin(x)$ है।अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \sin(t) \,dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[-\cos(t)]_{0}^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

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