मान लीजिए $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है। $x \in(-2,2)$ के लिए फलन $f(x)=[x]|x^{2}-1|+\sin \left(\frac{\pi}{[x]+3}\right)-[x+1]$ जिन बिंदुओं पर असंतत है,उन बिंदुओं की संख्या है:

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ और $g(x) = x f(x)$ द्वारा परिभाषित हैं। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें: $(i)$ $f(x)$, $x = 0$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है। $(ii)$ $g(x)$, $x = 0$ पर अवकलनीय है, लेकिन $g'(x)$, $x = 0$ पर सतत नहीं है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $f(0)=1$ और सभी $x \in R$ के लिए $f(2x)-f(x)=x$ को संतुष्ट करता है। यदि $\lim_{n \rightarrow \infty} \{f(x)-f(\frac{x}{2^n})\} = G(x)$ है,तो $\sum_{r=1}^{10} G(r^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्या $f(x) = |x|$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है?

$k$ के किस मान के लिए फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\text{log}(1+2x) \sin x^{\circ}}{x^2}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है?

यदि $f(x) = \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\operatorname{cosec} x}$,$x=0$ पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।