ધારો કે T એ ઉપવલય E: x^{2}+4 y^{2}=5 પર બિંદુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ છે. બિંદુ $P(1,1)$ આગળ સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(1)+4y(1)=5$ એટલે કે $x+4y=5$ અથવા $y = \frac{5-x}{4}$ છે.સ્પ

Vedclass · Accepted Answer

$1.25$

Vedclass · Answer

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $E: x^{2}+4 y^{2}=5$ છે. બિંદુ $P(1,1)$ આગળ સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(1)+4y(1)=5$ એટલે કે $x+4y=5$ અથવા $y = \frac{5-x}{4}$ છે.સ્પર્શક $T$,ઉપવલય $E$ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=\sqrt{5}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:$A = \int_{1}^{\sqrt{5}} \left( \frac{5-x}{4} - \frac{\sqrt{5-x^{2}}}{2} \right) dx$સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^{2}} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$$A = \left[ \frac{5x}{4} - \frac{x^{2}}{8} - \frac{x}{4} \sqrt{5-x^{2}} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{5}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{5}}$$x=\sqrt{5}$ માટે: $\frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{8} - 0 - \frac{5}{4} \sin^{-1}(1) = \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8}$$x=1$ માટે: $\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \sqrt{4} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{10-1-4}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$$\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ મળે.$A = \left( \frac{10\sqrt{5}-5}{8} - \frac{5\pi}{8} \right) - \left( \frac{5}{8} - \frac{5}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \right) \right)$$A = \frac{10\sqrt{5}-10}{8} - \frac{5\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{5\sqrt{5}}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4} \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$આને $\alpha \sqrt{5} + \beta + \gamma \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{5}{4}$,$\beta = -\frac{5}{4}$,$\gamma = -\frac{5}{4}$ મળે.$|\alpha + \beta + \gamma| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4} - \frac{5}{4}| = |-\frac{5}{4}| = 1.25$.

Similar Questions

પ્રદેશ $A = \{(x, y) : x^2 \le y \le x + 2\}$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

વક્ર $y = (x + 1)^2$,$y = (x - 1)^2$ અને રેખા $y = \frac{1}{4}$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધો.

$X$-અક્ષની ઉપરના ભાગમાં પરવલય $y^{2}=x$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2x$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં શોધો.

વક્રો $x = y^2 - 1$ અને $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module