मान लीजिए A = [a_{ij}] एक 3 times 3 आव्यूह है | vedclass

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Question

(D) सबसे पहले,दी गई शर्तों के आधार पर आव्यूह $A$ का निर्माण करते हैं:$i=1, j=2$ के लिए: $i < j \implies a_{12} = (-1)^{2-1} = -1$$i=1, j=3$ के लिए: $i

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$108$

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(D) सबसे पहले,दी गई शर्तों के आधार पर आव्यूह $A$ का निर्माण करते हैं:$i=1, j=2$ के लिए: $i $i=1, j=3$ के लिए: $i $i=2, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$$i=2, j=3$ के लिए: $i $i=3, j=1$ के लिए: $i > j \implies a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$$i=3, j=2$ के लिए: $i > j \implies a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$विकर्ण अवयव $a_{ii} = 2$ हैं।अतः,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 2 & -1 \ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$।सारणिक $|A| = 2(4-1) - (-1)(-2+1) + 1(1-2) = 2(3) - 1 - 1 = 6 - 2 = 4$ है।हमें $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ का मान ज्ञात करना है।सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए: $n 	imes n$ आव्यूह के लिए $|kM| = k^n |M|$ और $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ होता है।यहाँ $n=3$ है,इसलिए $|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 3^3 |\operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 |2 A^{-1}|^{3-1} = 27 |2 A^{-1}|^2$।चूंकि $|2 A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{8}{4} = 2$ है।इसलिए,$|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 \cdot (2)^2 = 27 \cdot 4 = 108$।

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