मान लीजिए कि {a_{n}}_{n=1}^{infty} एक अनुक्रम | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ है।$8^{n+2}$ से विभाजित करने पर,हम

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$7$

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(B) मान लीजिए $P = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_{n}$ है।$8^{n+2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2a_{n+1}}{8^{n+2}} + \frac{a_{n}}{8^{n+2}}$.$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = \frac{2}{8} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} + \frac{1}{64} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}}$.मान लीजिए $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{8^{n}} = P$. तो $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{8^{n+1}} = P - \frac{a_{1}}{8} = P - \frac{1}{8}$.और $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+2}}{8^{n+2}} = P - \frac{a_{1}}{8} - \frac{a_{2}}{64} = P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$P - \frac{1}{8} - \frac{1}{64} = \frac{1}{4}(P - \frac{1}{8}) + \frac{1}{64}P$.$64$ से गुणा करने पर:$64P - 8 - 1 = 16(P - \frac{1}{8}) + P$.$64P - 9 = 16P - 2 + P$.$64P - 9 = 17P - 2$.$47P = 7$.

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