मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण e^{y} frac{d y}{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. मान लीजिए $e^{y}=t$,तो $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$.

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$4$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y} \frac{d y}{d x}-2 e^{y} \sin x=-\sin x \cos ^{2} x$. मान लीजिए $e^{y}=t$,तो $e^{y} \frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$. समीकरण $\frac{d t}{d x}-2 \sin x \cdot t=-\sin x \cos ^{2} x$ बन जाता है। यह $\frac{d t}{d x}+P(x)t=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=-2 \sin x$ और $Q(x)=-\sin x \cos ^{2} x$ है। समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \sin x dx} = e^{2 \cos x}$ है। हल $t \cdot e^{2 \cos x} = \int -\sin x \cos ^{2} x \cdot e^{2 \cos x} dx + C$ है। मान लीजिए $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$। समाकलन $\int u^{2} e^{2u} du$ बन जाता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int u^{2} e^{2u} du = u^{2} \frac{e^{2u}}{2} - \int 2u \frac{e^{2u}}{2} du = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - (u \frac{e^{2u}}{2} - \int \frac{e^{2u}}{2} du) = \frac{u^{2} e^{2u}}{2} - \frac{u e^{2u}}{2} + \frac{e^{2u}}{4}$. अतः,$e^{y} e^{2 \cos x} = e^{2 \cos x} (\frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4}) + C$. $x = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = 0$,तो $e^{0} e^{0} = e^{0} (0 - 0 + \frac{1}{4}) + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. इस प्रकार,$e^{y} = \frac{\cos^{2} x}{2} - \frac{\cos x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2 \cos x}$. $x = 0$ पर,$e^{y(0)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} e^{-2}$. $\alpha + \beta e^{-2}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{4}$ और $\beta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है। अतः,$4(\alpha + \beta) = 4(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 4(1) = 4$.

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