अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + y log x = x^2 का | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \left(\f

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$x^{\log (\sqrt{x})}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ है। दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\log x}{x}\right) y = x$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\log x}{x}$ और $Q = x$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है। $I$.$F$. $= e^{\int \frac{\log x}{x} dx}$. मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$. अतः,$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\log x)^2}{2}$. इसलिए,$I$.$F$. $= e^{\frac{(\log x)^2}{2}} = (e^{\log x})^{\frac{\log x}{2}} = x^{\frac{\log x}{2}} = x^{\log (\sqrt{x})}$. अतः,सही विकल्प $D$ है।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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