यदि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + 2y tan | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और

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$\frac{1}{8}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और $Q = \sin x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 	an x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx = \int \sec x 	an x dx = \sec x + C$.चूँकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर:$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{\sec x - 2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।माना $t = \cos x$ है। चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $y = t - 2t^2$ है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dt} = 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.चूँकि $t = \frac{1}{4}$ अंतराल $[-1, 1]$ के भीतर है,अधिकतम मान $y = \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ है।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल है और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $\mathbb{R}$ पर फलन $y(x)$ का अधिकतम मान क्या होगा?

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