dy = cos x(2 - y csc x)dx का हल क्या है,जहाँ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = \cos x(2 - y \csc x)dx$$dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - y \cot x$पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}

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$y = \sin x + \csc x$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $dy = \cos x(2 - y \csc x)dx$$dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - y \cot x$पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 2 \cos x$यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2 \cos x$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln(\sin x)} = \sin x$ है।सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।मान रखने पर: $y \sin x = \int (2 \cos x \cdot \sin x) dx + c = \int \sin(2x) dx + c$.$y \sin x = \sin^2 x + c$.दिया है कि $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 2$ है:$2 \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin^2(\frac{\pi}{2}) + c \implies 2(1) = (1)^2 + c \implies c = 1$.अतः,$y \sin x = \sin^2 x + 1$.$\sin x$ से भाग देने पर,हमें $y = \sin x + \csc x$ प्राप्त होता है।

$dy = \cos x(2 - y \csc x)dx$ का हल क्या है,जहाँ $x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 2$ है?

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$; जब $x = \frac{\pi}{3}$ तब $y = 0$.

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