दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और

Vedclass · Accepted Answer

$y = \cos x - 2 \cos^2 x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y 	an x = \sin x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 	an x$ और $Q = \sin x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 	an x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln |\sec^2 x|} = \sec^2 x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot \sec^2 x = \int (\sin x \cdot \sec^2 x) dx + C$.$y \cdot \sec^2 x = \int (	an x \cdot \sec x) dx + C$.$y \cdot \sec^2 x = \sec x + C$  --- $(1)$.दिया है कि $x = \frac{\pi}{3}$ पर $y = 0$:$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C$.$0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$.$C = -2$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y \cdot \sec^2 x = \sec x - 2$.$\sec^2 x$ से भाग देने पर:$y = \cos x - 2 \cos^2 x$.

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$; जब $x = \frac{\pi}{3}$ तब $y = 0$.

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