मान लीजिए vec{a}=hat{i}-alpha hat{j}+beta hat | vedclass

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Question

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,और $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है।$

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$9$

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(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,और $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ है।$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ से:$(1)(3) + (-\alpha)(\beta) + (\beta)(-\alpha) = -1$$3 - 2\alpha\beta = -1 \Rightarrow 2\alpha\beta = 4 \Rightarrow \alpha\beta = 2$.$\vec{b} \cdot \vec{c} = 10$ से:$(3)(-\alpha) + (\beta)(-2) + (-\alpha)(1) = 10$$-3\alpha - 2\beta - \alpha = 10 \Rightarrow -4\alpha - 2\beta = 10 \Rightarrow 2\alpha + \beta = -5$.चूँकि $\alpha\beta = 2$ और $\beta = -5 - 2\alpha$,हम $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:$\alpha(-5 - 2\alpha) = 2 \Rightarrow -5\alpha - 2\alpha^2 = 2 \Rightarrow 2\alpha^2 + 5\alpha + 2 = 0$.$(2\alpha + 1)(\alpha + 2) = 0$. चूँकि $\alpha$ एक पूर्णांक है,$\alpha = -2$ होगा।अतः $\beta = -5 - 2(-2) = -5 + 4 = -1$.अब,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।$= 1(-1 + 4) - 2(3 - 4) - 1(-6 + 2)$$= 1(3) - 2(-1) - 1(-4) = 3 + 2 + 4 = 9$.

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यदि चार बिंदु $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ और $D(6, k, 2)$ समतलीय हैं,तो $k=$

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