ધારો કે $S = \left\{ \begin{bmatrix} -1 & a \\ 0 & b \end{bmatrix} : a, b \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\} \right\}$ અને ધારો કે $T_n = \{A \in S : A^{n(n+1)} = I\}$. તો $\bigcap_{n=1}^{100} T_n$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $|M|$ એ ચોરસ શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ એ $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$. ધારો કે $p(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે જેના બીજ વિધેય $g(\theta)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે,અને $p(2)=2-\sqrt{2}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી $A^2 - 5A + 7I = 0$.
વિધાન-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
વિધાન-$II$: બહુપદી $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ ને $5(A - 4I)$ માં ઘટાડી શકાય છે.

ધારો કે $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,જ્યાં $\alpha = \alpha(\theta)$ અને $\beta = \beta(\theta)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $\alpha^*$ એ ગણ $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય અને $\beta^*$ એ ગણ $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $\alpha^* + \beta^*$ ની કિંમત શોધો.

નીચેનામાંથી કયો(કયા) $3 \times 3$ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકનો વર્ગ નથી?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \alpha & -1 \\ 6 & \beta \end{bmatrix}$,$\alpha > 0$,જેથી $\operatorname{det}(A) = 0$ અને $\alpha + \beta = 1$ થાય. જો $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક હોય,તો શ્રેણિક $(I + A)^8$ શું થશે?