मान लीजिए vec{a} और vec{b} एक समांतर चतुर्भुज | vedclass

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Question

(D) विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} 	imes \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जा

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$\frac{3 \pi}{4}$

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(D) विकर्णों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $	ext{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} 	imes \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है।अतः,$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$।दिया गया है $|\vec{a}|=1$ और $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a} 	imes \vec{b}|$,हमारे पास $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos 	heta = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 	heta$ है,जहाँ $	heta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।चूँकि $	heta$ न्यून है,$\cos 	heta = \sin 	heta \Rightarrow 	heta = \frac{\pi}{4}$।अब,$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \frac{\pi}{4} = 1 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{b}| = 8$।दिया गया है $\vec{c} = 2 \sqrt{2}(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 2 \vec{b}$।चूँकि $(\vec{a} 	imes \vec{b})$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत है,सदिश $(2 \sqrt{2}(\vec{a} 	imes \vec{b}))$ और $(-2 \vec{b})$ परस्पर लंबवत हैं।अतः,$|\vec{c}|^2 = |2 \sqrt{2}(\vec{a} 	imes \vec{b})|^2 + |-2 \vec{b}|^2 = 8(4 \sqrt{2})^2 + 4(8)^2 = 8(32) + 4(64) = 256 + 256 = 512$।$|\vec{c}| = \sqrt{512} = 16 \sqrt{2}$।अब,$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot (2 \sqrt{2}(\vec{a} 	imes \vec{b}) - 2 \vec{b}) = 2 \sqrt{2} (\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b})) - 2 |\vec{b}|^2 = 0 - 2(8)^2 = -128$।मान लीजिए $\alpha$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है। तब $\cos \alpha = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{-128}{8 \cdot 16 \sqrt{2}} = \frac{-128}{128 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।इसलिए,$\alpha = \frac{3 \pi}{4}$।

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किसी भी सदिश $\vec{a} \in \mathbb{R}^3$ के लिए,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $ . . . . . . .

यदि $|\vec{a}|=3$ है,तो $|\vec{a} \times \hat{i}|^2+|\vec{a} \times \hat{j}|^2+|\vec{a} \times \hat{k}|^2$ का मान . . . . . . है।

किन्हीं तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के लिए,$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} + \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b})$ का मान क्या होगा?

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