मान लीजिए कि $\alpha$ समीकरण $1+x^{2}+x^{4}=0$ का एक मूल है। तो $\alpha^{1011}+\alpha^{2022}-\alpha^{3033}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\cos \theta + i \sin \theta, \theta \in R$, समीकरण $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ का एक मूल है, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n \in R$ और $a_0 \neq 0$, तो $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta$ का मान क्या है?

माना $z_k = \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right) + i \sin \left(\frac{2k\pi}{10}\right); k = 1, 2, \ldots, 9$.

सूची-$I$	सूची-$II$
$P.$ प्रत्येक $z_k$ के लिए एक ऐसा $z_j$ मौजूद है कि $z_k \cdot z_j = 1$	$1.$ सत्य
$Q.$ एक ऐसा $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ मौजूद है कि $z_1 \cdot z = z_k$ का सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है।	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{|1-z_1||1-z_2| \ldots |1-z_9|}{10}$ का मान	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ का मान	$4.$ $2$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

यदि $n$ एक पूर्णांक है जिसे $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है,तो $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $x = \alpha + \beta$,$y = \alpha \omega + \beta \omega^2$,और $z = \alpha \omega^2 + \beta \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है। तो $xyz$ का गुणनफल क्या है?

यदि $x = a$,$y = b\omega$,और $z = c\omega^2$ है,जहाँ $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \dots$