माना z_k = cos left(frac{2kpi}{10}right) + i | vedclass

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Question

(C) $(P)$ चूँकि $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$,हमारे पास $z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ है यदि $k+j = 10$ हो। किसी भी $k \in \{1, \ldots, 9\}$ के

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$1 \quad 2 \quad 3 \quad 4$

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(C) $(P)$ चूँकि $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$,हमारे पास $z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ है यदि $k+j = 10$ हो। किसी भी $k \in \{1, \ldots, 9\}$ के लिए,हम $j = 10-k \in \{1, \ldots, 9\}$ चुन सकते हैं। अतः,यह कथन सत्य है $(1)$.$(Q)$ समीकरण $z_1 \cdot z = z_k$ सम्मिश्र संख्याओं में एक रैखिक समीकरण है,जिसका हमेशा एक हल $z = z_k / z_1$ होता है। अतः,यह कथन असत्य है $(2)$.$(R)$ $z_1, z_2, \ldots, z_9$ समीकरण $\frac{z^{10}-1}{z-1} = 0$ के मूल हैं। अतः,$z^{10}-1 = (z-1)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$। $(z-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $1+z+z^2+\ldots+z^9 = (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$ प्राप्त होता है। $z=1$ रखने पर,हमें $10 = (1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_9)$ प्राप्त होता है। मापांक लेने पर,$|1-z_1||1-z_2|\ldots|1-z_9| = 10$। अतः,व्यंजक का मान $10/10 = 1$ है $(3)$.$(S)$ $z^{10}-1=0$ के सभी मूलों का योग $1 + z_1 + z_2 + \ldots + z_9 = 0$ है। अतः,$\sum_{k=1}^9 z_k = -1$। वास्तविक भाग लेने पर,$\sum_{k=1}^9 \cos(2k\pi/10) = -1$। तब $1 - (-1) = 2$ $(4)$.अतः,सही मिलान $P-1, Q-2, R-3, S-4$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P.$ प्रत्येक $z_k$ के लिए एक ऐसा $z_j$ मौजूद है कि $z_k \cdot z_j = 1$	$1.$ सत्य
$Q.$ एक ऐसा $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ मौजूद है कि $z_1 \cdot z = z_k$ का सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है।	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{\|1-z_1\|\|1-z_2\| \ldots \|1-z_9\|}{10}$ का मान	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ का मान	$4.$ $2$

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