मान लीजिए कि $f$,$[0, 1]$ पर एक वास्तविक मान वाला सतत फलन है और $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $(x, y)$,वक्र $y = f(x)$ पर स्थित है?

समीकरण $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ को संतुष्ट करने वाले सतत फलनों $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ सभी $x \in R$ के लिए है,जहाँ $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ है। यदि $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ है,तो $m$ और $M$ के संभावित मान क्या हैं?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x)=\begin{cases} [x], & x \leq 2 \\ 0, & x>2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[x]$,$x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $I=\int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ है,तो $(4I-1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।