मान लीजिए n geq 5 एक पूर्णांक है। यदि 9^{n}-8 | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $9^{n} = (1+8)^{n} = 1 + n(8) + { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n})$ है।अतः,$9^{n}-8n-1 = { }^{n}C_

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${ }^{n} C_{3}(8-5)+{ }^{n} C_{4}(8^{2}-5^{2})+\ldots+{ }^{n} C_{n}(8^{n-2}-5^{n-2})$

Vedclass · Answer

(C) हमारे पास $9^{n} = (1+8)^{n} = 1 + n(8) + { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n})$ है।अतः,$9^{n}-8n-1 = { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n}) = 64\alpha$.इस प्रकार,$\alpha = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(8) + { }^{n}C_{4}(8^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2})$.इसी प्रकार,$6^{n} = (1+5)^{n} = 1 + n(5) + { }^{n}C_{2}(5^{2}) + { }^{n}C_{3}(5^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n}) = 25\beta$.इस प्रकार,$\beta = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(5) + { }^{n}C_{4}(5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n-2})$.दोनों व्यंजकों को घटाने पर:$\alpha - \beta = { }^{n}C_{3}(8-5) + { }^{n}C_{4}(8^{2}-5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2}-5^{n-2})$.यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

मान लीजिए $n \geq 5$ एक पूर्णांक है। यदि $9^{n}-8n-1=64\alpha$ और $6^{n}-5n-1=25\beta$ है,तो $\alpha-\beta$ का मान क्या होगा?

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यदि $\sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) \cdot {}^{11}C_{r+1} = \frac{\alpha^{11}-11^{11}}{10^{10}}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए :

$(2x + 1)(2x + 3)(2x + 5) \dots (2x + 99)$ के विस्तार में $x^{49}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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$(1 + x)^n - nx - 1$ किससे विभाज्य है (जहाँ $n \in N$):

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