मान लीजिए कि $X$ का द्विपद वितरण $B(n, p)$ है,इस प्रकार कि $X$ के माध्य और प्रसरण का योग और गुणनफल क्रमशः $24$ और $128$ है। यदि $P(X > n - 3) = \frac{k}{2^n}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो पक्षपाती सिक्के हैं,इस प्रकार कि एक बार उछालने पर चित (head) आने की प्रायिकता क्रमशः $\frac{2}{3}$ और $\frac{1}{3}$ है। मान लीजिए $\alpha$ चितों की संख्या है जो तब आती है जब $C_1$ को दो बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है,और $\beta$ चितों की संख्या है जो तब आती है जब $C_2$ को दो बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है। तो द्विघात बहुपद $x^2 - \alpha x + \beta$ के मूल वास्तविक और समान होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक द्विपद वितरण में किए गए परीक्षणों की संख्या $n = 6$ है। यदि इस चर के माध्य और प्रसरण के बीच का अंतर $\frac{27}{8}$ है,तो अधिकतम $2$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

एक द्विपद चर $X \sim B(n, p)$ का माध्य $1$ है। यदि $n > 2$ और $P(X=2)=\frac{27}{128}$ है, तो वितरण का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

यदि एक निष्पक्ष सिक्के को $10$ बार उछाला जाता है,तो कम से कम छह चित (heads) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति $50$ लॉटरी में टिकट खरीदता है,जिनमें से प्रत्येक में उसके इनाम जीतने की संभावना $\frac{1}{100}$ है। उसके ठीक एक बार इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है?