मान लीजिए f एक अवकलनीय फलन है जो x 0 के लिए | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $t = \frac{\lambda^{2} x}{3}$। तब $dt = \frac{2\lambda x}{3} d\lambda$,जिसका अर्थ है $d\lambda = \frac{3}{2\lambda x} dt = \frac{3}{2\sq

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$12$

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(B) मान लीजिए $t = \frac{\lambda^{2} x}{3}$। तब $dt = \frac{2\lambda x}{3} d\lambda$,जिसका अर्थ है $d\lambda = \frac{3}{2\lambda x} dt = \frac{3}{2\sqrt{3tx/3} x} dt = \frac{3}{2x\sqrt{tx/3}} dt = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt$।इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \int_{0}^{x} f(t) \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}\sqrt{t}} dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।अतः,$\sqrt{x} f(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt$।लीबनीज़ नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{2\sqrt{x}} f(x) + \sqrt{x} f'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$।$2\sqrt{x}$ से गुणा करने पर:$f(x) + 2x f'(x) = 2f(x) \implies 2x f'(x) = f(x)$।$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\ln|f(x)| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \implies f(x) = k\sqrt{x}$।दिया गया है $f(1) = \sqrt{3}$,इसलिए $k\sqrt{1} = \sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}$।अतः,$f(x) = \sqrt{3x}$।चूंकि $f(\alpha) = 6$,इसलिए $\sqrt{3\alpha} = 6 \implies 3\alpha = 36 \implies \alpha = 12$।

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मान लीजिए $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ और $f$ एक सतत फलन है ताकि $f(2x) = f(x)$ हो। तो:

फलन $f(x) = \int_{x^2}^{x^2+1} e^{-t^2} dt$ किस अंतराल में एक वर्धमान फलन है?

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