मान लीजिए g(x) = int_{x}^{2x} frac{f(t)}{t} d | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$।लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:$g'(x) = \f

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$g(x)$ एक अचर फलन है

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(C) दिया गया है $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$।लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए, हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) - \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{d}{dx}(x)$$g'(x) = \frac{f(2x)}{2x} \cdot 2 - \frac{f(x)}{x} \cdot 1$$g'(x) = \frac{f(2x)}{x} - \frac{f(x)}{x}$चूंकि यह दिया गया है कि $f(2x) = f(x)$, हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:$g'(x) = \frac{f(x) - f(x)}{x} = 0$चूंकि सभी $x > 0$ के लिए $g'(x) = 0$ है, इसलिए फलन $g(x)$ एक अचर फलन है।

मान लीजिए $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{f(t)}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ और $f$ एक सतत फलन है ताकि $f(2x) = f(x)$ हो। तो:

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$\mathop {Limit}\limits_{x \to {x_1}} \,\,\frac{x}{{x - {x_1}}}\,\,\int\limits_{{x_1}}^x {f(t)} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int_0^x {f(t)\,dt} = x + \int_x^1 {t\,f(t)\,dt,}$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \cdot \sin^2 6\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^a x(2ax - x^2)^{3/2} dx = $

यदि $\int\limits_0^x {f\left( t \right)} dt = {x^2} + \int\limits_x^1 {{t^2}f\left( t \right)dt} $ है,तो $f'(1/2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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