ધારો કે S = {z = x + iy : |z - 1 + i| geq |z| | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $z = x + iy$ માટે આપેલી શરતો:$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 +

Vedclass · Accepted Answer

$\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$

Vedclass · Answer

(B) $z = x + iy$ માટે આપેલી શરતો:$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.$3) |z| શરતોમાં $y = -x$ મૂકતા:$(1)$ પરથી,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.$(3)$ પરથી,$x^2 + (-x)^2 આમ,$z$ એ રેખાખંડ $y = -x$ પર $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ માટે આવેલું છે.હવે,$w = 2x + iy \in S$ કોઈ $y \in \mathbb{R}$ માટે. કારણ કે $z = x + iy \in S$,આપણી પાસે $y = -x$ છે. તેથી $w = 2x - ix$. ધારો કે $w = X + iY$,જ્યાં $X = 2x$ અને $Y = -x$. તો $Y = -X/2$.કારણ કે $z \in S$,આપણી પાસે $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ છે. તેથી $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$.જોકે,$w \in S$ શરત સૂચવે છે કે $w$ એ $z$ જેવી જ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ. ખાસ કરીને,$w = X + iY$ એ $Y = -X$ અને $X^2 + Y^2 વધુમાં,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$.આ બંનેને જોડતા,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ મળે છે. વિકલ્પોને જોતા,વાસ્તવિક ભાગ $X$ માટેનો સાચો ગણ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ છે.

ધારો કે $S = \{z = x + iy : |z - 1 + i| \geq |z|, |z| < 2, |z + i| = |z - 1|\}$. તો $x$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ,જેના માટે $w = 2x + iy \in S$ કોઈ $y \in \mathbb{R}$ માટે થાય,તે છે:

Similar Questions

$|z-1|+|z-5|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

આર્ગેન્ડ આકૃતિમાં $z, iz, z + iz$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઘન સમીકરણ $(z + ab)^3 = a^3$ ના બીજ,જ્યાં $a \neq 0$,તે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ દર્શાવે છે જેની બાજુઓની લંબાઈ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module