मान लीजिए कि a, b, c समीकरण x^3+ax^2+bx+c=0 क | vedclass

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Question

(C) दिया गया घन समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $a, b, c$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार:$a+b+c = -a \implies 2a+b+c = 0$ $(i)$$ab+bc+ca = b$ (i

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ऐसी केवल दो त्रिक $(a, b, c)$ हैं

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(C) दिया गया घन समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $a, b, c$ हैं।विएटा के सूत्रों के अनुसार:$a+b+c = -a \implies 2a+b+c = 0$ $(i)$$ab+bc+ca = b$ (ii)$abc = -c \implies ab = -1$ (चूंकि $c 
eq 0$) (iii)(iii) से,$b = -\frac{1}{a}$.$b$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2a - \frac{1}{a} + c = 0 \implies c = \frac{1}{a} - 2a$.$b$ और $c$ का मान (ii) में रखने पर:$ab + c(a+b) = b$$-1 + (\frac{1}{a} - 2a)(a - \frac{1}{a}) = -\frac{1}{a}$$-1 + (1 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 + 2) = -\frac{1}{a}$$2 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 = -\frac{1}{a}$$a^2$ से गुणा करने पर: $2a^2 - 1 - 2a^4 = -a$$2a^4 - 2a^2 - a + 1 = 0$$(a-1)(2a^3+2a^2-1) = 0$.$a=1$ के लिए,$b=-1, c=-1$. मूल $1, -1, -1$ हैं। जांच: $x^3+x^2-x-1=0 \implies (x-1)(x+1)^2=0$. मूल $1, -1, -1$ हैं। यह सही है।$2a^3+2a^2-1=0$ के लिए,एक वास्तविक मूल $a \approx 0.589$ प्राप्त होता है। यह दूसरी मान्य त्रिक $(a, b, c)$ देता है।अतः,ऐसी केवल दो त्रिक हैं।

मान लीजिए कि $a, b, c$ समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ के शून्येतर वास्तविक मूल हैं। तो,

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