ધારો કે f: R rightarrow R એક સતત વિધેય છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x^2) = f(x^3)$.કોઈપણ $x > 0$ માટે,ધારો કે $x = t^6$. તો $f(t^{12}) = f(t^{18})$.વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ $x > 0$ મ

Vedclass · Accepted Answer

$II$ અને $III$ બંને સાચા છે

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in R$ માટે $f(x^2) = f(x^3)$.કોઈપણ $x > 0$ માટે,ધારો કે $x = t^6$. તો $f(t^{12}) = f(t^{18})$.વધુ સામાન્ય રીતે,કોઈપણ $x > 0$ માટે,આપણે $x = t^{6^n}$ લખી શકીએ છીએ.આદેશનું પુનરાવર્તન કરતા,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$.જેમ $n 	o \infty$,તેમ $(2/3)^n 	o 0$,તેથી તમામ $x > 0$ માટે $f(x) = f(x^0) = f(1)$.કારણ કે $f$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે,$f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(1)$.$x  0$. તો $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$.કારણ કે $f(t^2) = f(1)$,તેથી $f(-t^3) = f(1)$.જેમ $t^3$ તમામ ધન કિંમતો આવરી લે છે,તેથી તમામ $x આમ,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) = c$ (અચળ).અચળ વિધેય એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = c = f(x)$.અચળ વિધેય દરેક જગ્યાએ વિકલનીય પણ છે અને $f'(x) = 0$.તેથી,$II$ અને $III$ બંને સાચા છે.

Similar Questions

$cosine, cosecant, secant$ અને $cotangent$ વિધેયોની સાતત્યતાની ચર્ચા કરો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module