मान लीजिए f: R rightarrow R एक सतत फलन है,इस | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।अधिक सामान

Vedclass · Accepted Answer

$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x^2) = f(x^3)$ है।किसी भी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $x = t^6$ है। तब $f(t^{12}) = f(t^{18})$ होगा।अधिक सामान्यतः,किसी भी $x > 0$ के लिए,हम $x = t^{6^n}$ लिख सकते हैं।प्रतिस्थापन को दोहराने पर,$f(x) = f(x^{2/3}) = f(x^{(2/3)^2}) = \dots = f(x^{(2/3)^n})$ प्राप्त होता है।जैसे-जैसे $n 	o \infty$,$(2/3)^n 	o 0$ होता है,इसलिए सभी $x > 0$ के लिए $f(x) = f(x^0) = f(1)$ होगा।चूंकि $f$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $f(0) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(1)$ है।$x  0$ है। तब $f((-t)^2) = f((-t)^3) \implies f(t^2) = f(-t^3)$ होगा।चूंकि $f(t^2) = f(1)$,इसलिए $f(-t^3) = f(1)$ है।जैसे-जैसे $t^3$ सभी धनात्मक मानों को कवर करता है,सभी $x अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = c$ (एक स्थिरांक) है।एक अचर फलन एक सम फलन होता है क्योंकि $f(-x) = c = f(x)$ है।एक अचर फलन हर जगह अवकलनीय भी होता है और $f'(x) = 0$ होता है।इसलिए,$II$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

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यदि $f(x) = \frac{4^{x-\pi} + 4^{\pi-x} - 2}{(x-\pi)^2}$ जहाँ $x \neq \pi$,$x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi) = k$ है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{a} - a, & x < a \\ 0, & x = a \\ a - \frac{x^2}{a}, & x > a \end{cases}$ है,तो:

यदि $f(x)$ बिंदु $x = 3$ पर सतत है जहाँ $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{for } x \leq 3 \\ bx + 3, & \text{for } x > 3 \end{cases}$,तो

अंतराल $I = [-2, 2]$ पर,फलन $f(x) = \begin{cases} (x + 1) e^{-\left[ \frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} \right]} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ दिया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा सही नहीं है?

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