मान लीजिए S एक अनंत योग है जो S = sum_{n=0}^{ | vedclass

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Question

(D) अनुक्रम $n \geq 2$ के लिए $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a_0 = 1, a_1 = 1$ है।दोनों पक्षों को $\frac{1}{10^{2n}}$ से गुणा

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$2025$

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(D) अनुक्रम $n \geq 2$ के लिए $a_n = 20a_{n-1} - 108a_{n-2}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a_0 = 1, a_1 = 1$ है।दोनों पक्षों को $\frac{1}{10^{2n}}$ से गुणा करके $n=2$ से $\infty$ तक योग करने पर:$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{20a_{n-1}}{10^{2n}} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{108a_{n-2}}{10^{2n}}$$S - a_0 - \frac{a_1}{100} = \frac{20}{100} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-1}}{10^{2(n-1)}} - \frac{108}{10000} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n-2}}{10^{2(n-2)}}$$S - 1 - \frac{1}{100} = \frac{1}{5} (S - 1) - \frac{27}{2500} S$$S - \frac{1}{5} S + \frac{27}{2500} S = 1 + \frac{1}{100} - \frac{1}{5}$$S \left( \frac{2027}{2500} \right) = \frac{81}{100}$$S = \frac{2025}{2027}$अतः,$a = 2025$।

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