ધારો કે $n$ એ સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક છે જેથી $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \geq 4$ થાય. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

શ્રેણી $1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ ના અનંત પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$1 + (1 + x) + (1 + x + x^2) + (1 + x + x^2 + x^3) + \dots$ શ્રેણીનો $n$ પદ સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{19}{27}, \frac{65}{81}, \ldots$ ના પ્રથમ $100$ પદોના સરવાળાથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો.

ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ $a_1=7$ અને સામાન્ય તફાવત $8$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. ધારો કે $T_1, T_2, T_3, \ldots$ એવા છે કે $T_1=3$ અને $n \geq 1$ માટે $T_{n+1}-T_n=a_n$ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) T_{20}=1604$
$(B) \sum_{k=1}^{20} T_k=10510$
$(C) T_{30}=3454$
$(D) \sum_{k=1}^{30} T_k=35610$

$1+\sin x+\sin ^2 x+\sin ^3 x+\ldots+\infty=4+2 \sqrt{3}$ અને $0 < x < \pi, x \neq \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $x=$