मान लीजिए n सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिस | vedclass

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Question

(A) हार्मोनिक श्रेणी $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ को $\ln(n) + \gamma$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है,जहाँ $\gamma \ap

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$20 < n \leq 60$

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(A) हार्मोनिक श्रेणी $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ को $\ln(n) + \gamma$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है,जहाँ $\gamma \approx 0.577$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।हमें $H_n \geq 4$ चाहिए,इसलिए $\ln(n) + 0.577 \approx 4$,जिससे $\ln(n) \approx 3.423$ प्राप्त होता है।गणना करने पर $n \approx e^{3.423} \approx 30.66$ मिलता है।अधिक सटीकता के लिए,असमिका $\ln(n+1) $H_n \geq 4$ के लिए,हमारे पास $1 + \ln(n) > 4$ है,इसलिए $\ln(n) > 3$,जिसका अर्थ है $n > e^3 \approx 20.08$।सटीक रूप से,वह $n$ मान जिसके लिए हार्मोनिक योग $4$ तक पहुँचता है,$31$ है।चूँकि $31$ सीमा $20 < n \leq 60$ में आता है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

मान लीजिए $n$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \geq 4$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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