a_0=0, a_1=1 और a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, forall n | vedclass

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Question

(A) दिया गया संबंध $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है,जहाँ $a_0 = 0$ और $a_1 = 1$ है। अभिलक्षणिक समीकरण $r^2 - r - 1 = 0$ है। इसके मूल $r = \frac{1 \pm \sqr

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$\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया संबंध $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ है,जहाँ $a_0 = 0$ और $a_1 = 1$ है। अभिलक्षणिक समीकरण $r^2 - r - 1 = 0$ है। इसके मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। माना $a_n = A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है। $a_0 = 0$ का उपयोग करने पर,$A + B = 0$,अतः $B = -A$ है। $a_1 = 1$ का उपयोग करने पर,$A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) - A\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) = 1$ है। $A\sqrt{5} = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है। अतः $B = -\frac{1}{\sqrt{5}}$ है। इस प्रकार,$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ है।

$a_0=0, a_1=1$ और $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, \forall n \in N -\{0,1\}$ को संतुष्ट करने वाला $a_n$ के लिए व्यंजक निम्नलिखित में से कौन सा है?

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