sum_{k=1}^{infty} sum_{r=0}^k frac{1}{3^k} bi | vedclass

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Question

(D) हमें व्यंजक $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ दिया गया है।सर्वसमिका $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ का उपयोग करके,हम

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$2$

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(D) हमें व्यंजक $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ दिया गया है।सर्वसमिका $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ का उपयोग करके,हम आंतरिक योग को सरल बना सकते हैं:$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \left( \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k$.यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर,$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ प्राप्त होता है।

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha_r$ और $\beta_r$ (जहाँ $\alpha_r < \beta_r$) द्विघात समीकरण $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ के मूल हैं,तो $\sum_{r=1}^{n} (3\alpha_r + 2\beta_r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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