ધારો કે g(x) = int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને આપેલ છે કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$. અહીં સંકલ્ય $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$ એ $t=0$ ની નજીક સીમિત છ

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(C) આપણને આપેલ છે કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$. અહીં સંકલ્ય $f(t) = t^{2/3} \sin \frac{1}{t}$ એ $t=0$ ની નજીક સીમિત છે (કારણ કે $|\sin(1/t)| \leq 1$,તેથી $|f(t)| \leq t^{2/3}$),તેથી સંકલન અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આપણે $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધવી છે. $g(0) = 0$ હોવાથી,આ $0/0$ સ્વરૂપ છે. સ્ક્વીઝ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $|g(x)| = \left| \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt \right| \leq \int_0^{|x|^{3/4}} |t^{2/3} \sin \frac{1}{t}| \, dt \leq \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt$. સંકલન કરતા: $\int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{5/3}}{5/3} \right]_0^{|x|^{3/4}} = \frac{3}{5} (|x|^{3/4})^{5/3} = \frac{3}{5} |x|^{5/4}$. તેથી,$\left| \frac{g(x)}{x} \right| \leq \frac{\frac{3}{5} |x|^{5/4}}{|x|} = \frac{3}{5} |x|^{1/4}$. જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $\frac{3}{5} |x|^{1/4} \rightarrow 0$. તેથી,સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} = 0$.

ધારો કે $g(x) = \int_0^{|x|^{3/4}} t^{2/3} \sin \frac{1}{t} \, dt$,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે. તો,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ નું મૂલ્ય (મૂલ્યો) છે

$\int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx =$

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & x \le \pi/2 \\ \frac{b(1-\sin x)}{(\pi-2x)^2}, & x > \pi/2 \end{cases}$. જો $f$ એ $x = \pi/2$ આગળ સતત હોય, તો $\int_0^{3b-6} |x^2+2x-3| dx$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^a {\frac{{{x^4}\,dx}}{{{{({a^2} + {x^2})}^4}}}} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module