मान लीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए | vedclass

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Question

(D) रीमैन-लेबेग लेम्मा (Riemann-Lebesgue Lemma) के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक समाकलनीय फलन है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b

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$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$

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(D) रीमैन-लेबेग लेम्मा (Riemann-Lebesgue Lemma) के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[a, b]$ पर एक समाकलनीय फलन है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos(nx) \, dx = 0$ होता है। यहाँ,$f(x) = |x-1|$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक सतत और इसलिए समाकलनीय फलन है। चूंकि $f(x) = |x-1|$ समाकलनीय है,इसलिए समाकल $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ फलन $f(x)$ के फूरियर कोसाइन गुणांक (एक अचर गुणक तक) को दर्शाता है। रीमैन-लेबेग लेम्मा के अनुसार,जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$ होता है,फलन का $\cos(nx)$ के साथ गुणनफल का समाकल $0$ की ओर प्रवृत्त होता है। अतः,$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$।

मान लीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ है। तो,अनुक्रम $(a_n)_{n \geq 1}$ क्या संतुष्ट करता है?

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