मान लीजिए R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है औ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$।चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $t \geq 0$ के लिए $g(t) = \sqrt{t} - \log(1 + t)$ पर विचार करते हैं,ज

Vedclass · Accepted Answer

$I$ असत्य है और $II$ सत्य है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f(x) = \sqrt{|x|} - \log(1 + |x|)$।चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $t \geq 0$ के लिए $g(t) = \sqrt{t} - \log(1 + t)$ पर विचार करते हैं,जहाँ $t = |x|$ है।$g(t)$ के व्यवहार की जाँच करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं:$g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{1 + t} = \frac{1 + t - 2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}(1 + t)} = \frac{(\sqrt{t} - 1)^2}{2\sqrt{t}(1 + t)}$।चूंकि सभी $t > 0$ $(t 
eq 1)$ के लिए $g'(t) > 0$ है,इसलिए फलन $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए निरंतर वर्धमान है।जैसे $t 	o \infty$,$g(t) = \sqrt{t}(1 - \frac{\log(1 + t)}{\sqrt{t}}) 	o \infty$। अतः,$f(x)$ ऊपर से परिबद्ध नहीं है,इसलिए दावा $I$ असत्य है।$t = 0$ पर,$g(0) = 0$ है। चूंकि $g(t)$,$t \geq 0$ के लिए वर्धमान है,$g(t)$ का न्यूनतम मान $g(0) = 0$ है। अतः,सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ है। इसलिए,दावा $II$ सत्य है।अतः,$I$ असत्य है और $II$ सत्य है।

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