मान लीजिए X_n = {1, 2, 3, ldots, n} और X_n का | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $S_n$ उन उपसमुच्चयों $A \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ की संख्या है जिनमें किन्हीं दो तत्वों का अंतर कम से कम $3$ है। मान लीजिए $a_n$ ऐस

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$p > q$ और $p - q = \frac{1}{10}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $S_n$ उन उपसमुच्चयों $A \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}$ की संख्या है जिनमें किन्हीं दो तत्वों का अंतर कम से कम $3$ है। मान लीजिए $a_n$ ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है। $n=10$ के लिए,हम कुल वैध उपसमुच्चयों की संख्या $N$ की गणना करते हैं। मान लीजिए $f(n)$ $X_n$ के लिए ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या है। पुनरावृत्ति संबंध $f(n) = f(n-1) + f(n-3) + 1$ है (जहाँ $1$ रिक्त समुच्चय के लिए है)। मानों की गणना करने पर: $f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=6, f(5)=9, f(6)=13, f(7)=19, f(8)=28, f(9)=41, f(10)=60$. कुल उपसमुच्चय $N = 60$. $1$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $1 \in A$,तो $2, 3 
otin A$. हमें $\{4, 5, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 7\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(1 \in A) = f(7) = 19$. इसलिए,$p = \frac{19}{60}$. $2$ वाले उपसमुच्चयों की संख्या: यदि $2 \in A$,तो $1, 3, 4 
otin A$. हमें $\{5, 6, \ldots, 10\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने की आवश्यकता है ताकि तत्वों का अंतर कम से कम $3$ हो। यह समान शर्त के साथ $\{1, 2, \ldots, 6\}$ से एक उपसमुच्चय चुनने के बराबर है। अतः,$N(2 \in A) = f(6) = 13$. इसलिए,$q = \frac{13}{60}$. अतः,$p > q$ और $p - q = \frac{19-13}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

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