एक थैले में $7$ अलग-अलग काली गेंदें और $10$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं। यदि सभी काली गेंदें निकलने तक एक-एक करके गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,तो इस प्रक्रिया के $12$ वें प्रयास में पूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

समुच्चय $A = \{a_1, a_2, a_3\}$ से समुच्चय $B = \{b_1, b_2, b_3, b_4, b_5\}$ तक फलन बनाए जाते हैं। यदि यादृच्छिक रूप से एक फलन चुना जाता है, तो इसके एकैकी (one-one) फलन होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि तीन स्वतंत्र घटनाएँ $E_{1}, E_{2}$ और $E_{3}$ हैं। केवल $E_{1}$ के घटित होने की प्रायिकता $\alpha$ है,केवल $E_{2}$ के घटित होने की प्रायिकता $\beta$ है और केवल $E_{3}$ के घटित होने की प्रायिकता $\gamma$ है। मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि कोई भी घटना घटित नहीं होती है,जो समीकरणों $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ और $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ को संतुष्ट करती है। सभी दी गई प्रायिकताएँ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित मानी जाती हैं। तो,$\frac{\text{Probability of occurrence of } E_{1}}{\text{Probability of occurrence of } E_{3}}$ का मान .......... है।

बिंदुओं $(x, y)$ के समुच्चय $A_n$ पर विचार करें जैसे कि $0 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq n$,जहाँ $n, x, y$ पूर्णांक हैं। मान लीजिए $S_n$ उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो $A_n$ के कम से कम दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। मान लीजिए कि हम $S_n$ से यादृच्छिक रूप से एक रेखा $l$ चुनते हैं। मान लीजिए $P_n$ वह प्रायिकता है कि $l$,वृत्त $x^2+y^2=n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ की स्पर्शरेखा है। तो,सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n$ है

तीन व्यक्ति $P, Q$ और $R$ स्वतंत्र रूप से एक लक्ष्य को भेदने का प्रयास करते हैं। यदि उनके लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ और $\frac{5}{8}$ हैं,तो लक्ष्य के $P$ या $Q$ द्वारा भेदे जाने की,लेकिन $R$ द्वारा न भेदे जाने की प्रायिकता क्या है?

$1$ से $100$ तक की संख्याओं में से दो प्राकृतिक संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनका गुणा किया जाता है। यदि $A$ वह घटना है कि गुणनफल एक सम संख्या है और $B$ वह घटना है कि गुणनफल $4$ से विभाज्य है,तो $P(A \cap \bar{B})=$