ધારો કે XY એ O કેન્દ્રિત અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $R$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $\angle AOY = 	heta$ અને $\angle BOY = 	heta$. $AB \parallel XY$ હોવાથી,$A$ અને $B$ બિંદુઓ $XY$

Vedclass · Accepted Answer

$\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $R$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $\angle AOY = 	heta$ અને $\angle BOY = 	heta$. $AB \parallel XY$ હોવાથી,$A$ અને $B$ બિંદુઓ $XY$ ના લંબદ્વિભાજકની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. $A = (R \cos 	heta, R \sin 	heta)$ અને $B = (-R \cos 	heta, R \sin 	heta)$ છે.$	riangle AOB$ ની બાજુઓ $OA = R$,$OB = R$,અને $AB = 2R \cos 	heta$ છે.અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{R + R + 2R \cos 	heta}{2} = R(1 + \cos 	heta)$.$	riangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{વેધ} = \frac{1}{2} 	imes (2R \cos 	heta) 	imes (R \sin 	heta) = R^2 \sin 	heta \cos 	heta$.અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{	ext{ક્ષેત્રફળ}}{s} = \frac{R^2 \sin 	heta \cos 	heta}{R(1 + \cos 	heta)} = R \frac{\sin 	heta \cos 	heta}{1 + \cos 	heta}$.$r$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$	heta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\frac{dr}{d	heta} = R \frac{(1 + \cos 	heta)(\cos^2 	heta - \sin^2 	heta) - (\sin 	heta \cos 	heta)(-\sin 	heta)}{(1 + \cos 	heta)^2} = 0$.આનું સાદું રૂપ આપતા $(1 + \cos 	heta)(2 \cos^2 	heta - 1) + \sin^2 	heta \cos 	heta = 0$ મળે.$\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta$ મૂકતા,$(1 + \cos 	heta)(2 \cos^2 	heta - 1) + (1 - \cos^2 	heta) \cos 	heta = 0$.$2 \cos^2 	heta - 1 + 2 \cos^3 	heta - \cos 	heta + \cos 	heta - \cos^3 	heta = 0$.$\cos^3 	heta + 2 \cos^2 	heta - 1 = 0$.અવયવ પાડતા $(\cos 	heta + 1)(\cos^2 	heta + \cos 	heta - 1) = 0$.$\cos 	heta 
eq -1$ હોવાથી,$\cos^2 	heta + \cos 	heta - 1 = 0$.$\cos 	heta$ માટે ઉકેલતા,$\cos 	heta = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$. $	heta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos 	heta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.તેથી,$\angle BOY = 	heta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}ight)$.

Similar Questions

પ્રદેશ $\{(x,y) : x^2 + y^2 \leqslant 1 \leqslant x + y\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બિંદુ $P(10, 7)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ ની બહાર આવેલું છે. વર્તુળથી $P$ નું મહત્તમ અંતર કેટલું છે?

$AB$ વ્યાસ ધરાવતા અર્ધવર્તુળ પરના બિંદુઓ $C$ અને $D$ એવા છે કે $AC=1, CD=2$ અને $DB=3$ છે. તો,$AB$ ની લંબાઈ કયા અંતરાલમાં હશે?

વર્તુળો $x^2+y^2-x=0$ અને $x^2+y^2+x=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module