मान लीजिए n एक प्राकृतिक संख्या है और a एक वा | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $f(x) = x^{2n+1} - (2n+1)x + a$. अंतराल $[-1, 1]$ में शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अवकलन करते हैं। $f'(x) = (2n+1)x

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$a$ के प्रत्येक मान के लिए अधिकतम एक

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(C) मान लीजिए $f(x) = x^{2n+1} - (2n+1)x + a$. अंतराल $[-1, 1]$ में शून्यकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अवकलन करते हैं। $f'(x) = (2n+1)x^{2n} - (2n+1) = (2n+1)(x^{2n} - 1)$. $x \in (-1, 1)$ के लिए,हमारे पास $|x| अतः,$x^{2n} - 1 चूंकि $x \in [-1, 1]$ के लिए $f'(x) \leq 0$ है,फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर ह्रासमान है। एक निरंतर ह्रासमान फलन $X$-अक्ष को अधिकतम एक बिंदु पर काट सकता है। इसलिए,$a$ के किसी भी मान के लिए समीकरण $f(x) = 0$ का अंतराल $[-1, 1]$ में अधिकतम एक मूल होता है।

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